به اسم رفیع خالق

فرض کنید در زمان بسیار دوری زندگی می کنید.(ماشین حساب ندارید.انتگرال هم هنوز اختراع نشده.اما ضرب و تقسیم عادی را بلد هستید وچیزی شبیه پرگار وخط کش دارید.در ضمن نسبت های مثلثاتی را می توانید با رسم زاویه در دایره ی مثلثاتی با خط کش اندازه گیری کنید.)  

پس از چند بار اندازه گیری با یک نخ پی می بریم  که محیط دایره متناسب است با قطرش. یعنی:

P=2kR

ما k را که ضریب تناسب است п می گیریم.حالا می خواهیم п را محاسبه کنیم.

 درون دایره یک n ضلعی محاط می کنیم . وقتی n نزدیک به بی نهایت باشد محیط n ضلعی برابر با محیط دایره است.

یعنی:

P=2nRsin(Ө/2)

Ө=360/n

===>   P=2nRsin(180/n)=2пR   ===>   п=nsin(180/n) 

هرقدر n بزرگتر باشد п دقیق تر است:

n=4  ===> п=2.82

n=8  ===> п=3.06

n=16  ===> п=3.12

n=32  ===> п=3.14

پس می شود گفت п برابرست با nsin(180/n)  وقتی n  بی نهایت باشد.

طبق همان n ضلعی مساحت دایره برابرست با:

S= nR²sin(Ө/2)cos(Ө/2)

با جاگذاری  360/n  به جای Ө  و باتوجه به اینکه کسینوس زوایای خیلی کوچک یک است :

S= R² nsin(180/n)=пR²

بنابراین فرمول مساحت دایره هم اثبات می شود.